Поліщук Т.В., кандидат фізико-математичних наук
Уманський державний педагогічний університет імені Павла Тичини
Цифрові технології швидкими темами стають частиною нашого життя. Їх вплив на пеберебіг різних процесів діяльності людини фактично змушує людський мозок еволюціонувати в небаченому досі темпі. Згідно з теорією поколінь В. Штрауса і Н. Хоува до школи приходять діти покоління Z (цифрове покоління) з абсолютно новим типом мислення («кліпове мислення»). Для даного тип мислення характерним є візуальне сприйняття інформації. Візуальна інформація швидше сприймається, адже 80% інформації людина сприймає через зір. Ці обставини вимагають корінних змін у підході до освіти, передачі досвіду та знань. Особливо це актуально для закладів вищої освіти які готують майбутніх учителів.
Сьогодні ні в кого не виникає сумнівів щодо необхідності використання в освітньому процесі ЗО будь-якого рівня акредитації інформаційно-комунікаційних технологій (ІКТ). Велика кількість праць присвячена використанню ІКТ при викладанні фундаментальних дисциплін в аспекті методичної підготовки майбутніх фахівці різних галузей, зокрема майбутнього вчителя математики. Найчастіше розглядається можливість використання потужних математичних комп’ютерних програм (Maple, Mathematica, Maxima, Sage, Derive, Mathcad, A Grapher, тощо), програми динамічної математики (Geometer’s Sketchpad, Cabri, Geonext тощо) та їх більш простіші версії у безкоштовних онлайн додатках. Останнім часом з’являються роботи присвячені використанню у процесі навчання математичних дисциплін різноманітних інструментів Google Play Market (Google Classroom, School Planner, Photomath, Science Journal, MalMath: Step by step solver, Desmos Graphing Calculator, Plickers тощо) онлайн платформ (PNET, Learningapps, Canva, Kahhot тощо). Перераховані вище засоби дозволяють швидко розв’язувати задачі різних розділів математики, починаючи від простих побудов до складних аналітичних розрахунків, здійснювати візуалізацію математичних об’єктів, максимально концентрувати увагу та прискорювати сприйняття інформації. Застосування нових інформаційних технології під час вивчення усіх основних розділів математичного аналізу є основою для підвищення рівня математичної та професійної підготовки студентів [1]. У процесі навчання математичних дисциплін розв’язувати дослідницькі задачі рекомендується з використанням інформаційно-комунікаційних технологій [2]. Система динамічної математики GeoGebra є універсальним програмним засобом, що використовується для підтримки навчання усіх розділів вищої математики, зокрема математичного аналізу. Перевагою даного програмного продукту є його доступність, постійний розвиток і удосконалення командою студентів, учителів та науковців усього світу. Метою дослідження є використання системи комп’ютерної математики GeoGebra як засобу активізації діяльності майбутніх учителів математики в процесі навчання «Математичного аналізу». Система GeoGebra використовується як засіб для візуалізації досліджуваних математичних об’єктів, ілюстрації методів побудови; як середовище для моделювання та емпіричного дослідження властивостей досліджуваних об’єктів; як інструментально вимірювальний комплекс, що надає користувачеві набір спеціалізованих інструментів для створення і перетворення об’єкта, а також вимірювання його заданих параметрів. Виконання студентами на практичних заняттях із математичного аналізу завдань з використанням середовища GeoGebra створює можливість для урізноманітнення кола завдань, включаючи в нього завдання прикладного та дослідницького характеру, оптимізаційні задачі [3-6]. Такі задачі пов’язані із застосуванням математики у техніці, фізиці, хімії, економіці, медицині, екології, а також у побуті. Ці задачі відрізняються від типових як формулюванням так і способами розв’язування. Як правило на розв’язування таких задач витрачається значно більше часу ніж на розв’язування типових завдань. При розв’язувані таких задач потрібно скласти модель процесу (за умовою задачі скласти співвідношення, яке пов’язує функцію і змінні), і цей етап є найважчим, а потім використавши відповідні теоретичні знання знайти розв’язок абстрактної математичної задачі. Щоб мінімізувати витрати часу на обрахунки, візуалізувати модель доцільно використовувати середовище GeoGebra.
Розглянемо приклади розв’язування задач з використанням системи GeoGebra в курсі математичного аналізу.
Приклад 1. В керамічній майстерні виготовляють глиняні сувенірні кульки однакового розміру. Скільки потрібно фарби, щоб покрити N кульок шаром фарби товщиною 0,1 см.
Коментар. Отже за умовою задачі ми маємо сферу діаметром D (см). Потрібно вирахувати об’єм сферичного прошарку, якщо відомо радіус внутрішньої поверхні. Об’єм кулі визначається за формулою . Об’єм сферичного прошарку це приріст об’єму сфери, що викликаний зміною радіуса від (см) до (см). Отже, наша задача зводиться до обчислення значення диференціала функції (значення функції) при заданих сталих . Оскільки за умовою задачі потрібно вирахувати кількість фарби, яка необхідна для виготовлення N сувенірних кульок то результат множимо на N. Маємо (см3). У середовищі GeoGebra на полотні 2D за допомогою інструменту Окружность по радиусу и точке будуємо коло . У точці будуємо відрізок ВС довжиною 1. Потім будуємо коло . Прикріплюємо точку С до кола . Полотна 2D і 3D інтерактивні, тому на полотні 3D коло с з’явиться одразу. На полотні 3D будуємо сферу з радіусом 6 (інструмент Сфера по точке и радиусу). За допомогою повзунка змінюємо положення точки (обмеження від 1 до 5). За допомогою інструменту Локус одночасно буде змінюватися положення точки С, і таким чином ми можемо спостерігати за зміною радіуса кіл та сфер на полотні 2D і 3D відповідно (рис. 1). Нам залишається ввести функцію та знайти її значення. Отриманий результат помножити на кількість кульок.
Рис. 1. Інтерактивне поєднання 2D і 3D зображень під час розв’язування прикладу
Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл та площу фігури, що обмежена верхнім півколом з центром в точці О (0;0), радіусом , вісю ОХ та прямими x=А, x=В.
Коментар. Це приклад типового завдання з курсу математичний аналіз ( Тема: Геометричні застосування визначеного інтегралу). Зробивши елементарні побудови та використавши інструменти Интеграл і Сумма Прямоугольников мі досить швидко отримуємо інтерактивну модель задачі. Змінюючи положення повзунків ми спостерігаємо як змінюється значення інтеграла, площі та суми Рімана (рис. 2).
Рис. 2. 2D зображення, обчислення інтегралу та сум Рімана (приклад 2).
Приклад 3. На заправках чи автобамах, ми можемо бачити ємкості у вигляді прямих колових циліндрів для зберігання та перевезення палива, різних рідин. Мало хто задумується про пропорції таких цистерн: один і той самий об’єм рідини можна зберігати у вузькому і високому або широкому і низькому циліндрі. Чи дійсно площа поверхні циліндричної ємності за умови рівності діаметра основи та висоти при заданому об’ємі буде найменшою. Адже, на виготовлення такої ємності піде менше металу, на фарбування – менше фарби, на утеплення – менше теплоізолюючого покриття. Коментар. Отже, ми маємо циліндр у якого діаметр основи (коло радіуса ) дорівнює висоті . Формули для обчислення об’єму V та площі повної поверхні S циліндра з радіусом основи і висотою відомі. Площу повної поверхні S записуємо, як функцію змінної та об’єму V: . Задача зводиться до знаходження найменшого значення функції двох змінних . Для побудови циліндра зі динамічними радіусом основи та висотою використовуємо інструменти Окружность по центру и точке, Выдавить цилиндр, Точка прикрепить и Ползунок (рис. 3).
а) зміна висоти циліндра
в) зміна радіуса основи циліндра
Рис. 3. Інтерактивне зображення циліндра
Змінивши в умові задачі геометрію ємкості із циліндричної на конічну поверхню, ми приходимо до іншої оптимізаційної задачі. В таких конічних бункерах на електростанціях зберігають вугілля призначене для спалювання в топці парового котла. Засобами Mathcad та Maple такого типу задачі розв’язані у [7]. Але дане середовище не дає такої візуалізація об’єкту дослідження у порівняння із середовищем GeoGebra. Тому ми запропонували обмежитися лише побудовою об’єктів. Розв’язування таких задач в середовищі GeoGebra стане предметом подальших досліджень.
Крім цього, студентам можна запропонувати самостійно побудувати наступні об’єкти та подумати, як це вплине на розв’язок: а) циліндр без верхньої кришки, б) у циліндрі зробити вертикальну центральну перегородку заданої товщини, в) циліндр накритий півсферою, г) конус накритий плоскою і сферичною кришкою. Виконання таких завдань дещо зміщує акценти занять з техніки проведення типових розрахунків на більш глибоке розуміння теоретичних положень, інструментів на їх практичне застосування у реальному житті та подальшій професійній діяльності.
За результатами наших досліджень можна зробити наступні висновки. Використання системи GeoGebra при вивчені курсу «Математичний аналіз» дозволяє оптимізувати навчальний процес, проводити індивідуальну роботу, використовуючи портативні девайси студентів, сприяє підвищенню ефективності навчання, активізує пізнавальну діяльність та сприяє формуванню алгоритмічного стилю мислення у майбутніх учителів математики, створює можливість наочно демонструвати результати своєї навчальної діяльності, створення інтерактивної моделі, інтерактивні завдання з моделювання різних явищ, і головне, посилює інтерес студентів до фундаментальної науки через можливість візуалізації застосування математичного апарату до розв’язування прикладних задач.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
- Бутусова Ю. В. Використання онлайн-серверів, математичного пакету MAPLE та програмування в процесі вивчення рядів фурьє / Ю. В.Бутусова / Наукові записки. Серія: Проблеми методики фізико-математичної і технологічної освіти. Т.3, № 10, (2016). с. 7-14.
- Гриб’юк О.О. Психолого-педагогічні вимоги до комп’ютерно-орієнтованих систем навчання математики в контексті підвищення якості освіти// Гуманітарний вісник ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький державний педагогічний університет імені Григорія Сковороди» – Додаток 1 до Вип.31, Том IV (46): Тематичний випуск «Вища освіта України у контексті інтеграції до європейського освітнього простору». – Київ: Гнозис, 2013. – С. 110-123.
- Гриб’юк О. О. Дослідницький підхід у навчанні з використанням системи динамічної математики GeoGebra. / О. О. Гриб’юк В. Л. Юнчик // Актуальні питання гуманітарних наук: міжвузівський збірник наукових праць молодих вчених Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка / [редактори-упорядники В. Ільницький, А. Душний, І. Зимомря]. – Дрогобич : Посвіт, 2016. – Вип. 15. – С. 284-298.
- Семеніхіна, О. В. Візуалізація експериментальних випробувань на основі випадкових подій у середовищі GeoGebra 5.0 / О. В. Семеніхіна, М.Г. Друшляк // Науковий часопис Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова. Серія 3 : Фізика і математика у вищій і середній школі : зб. наук. праць. – Київ : Вид-во НПУ імені М. П. Драгоманова, 2014. – Вип. 14. – С. 94-103.
- Семеніхіна О. В. Побудова геометричних місць точок з використанням програм динамічної Математики / О. В. Семеніхіна, М. Г. Друшляк // Фізико-математична освіта. – – Вип. 1. – С. 127-133. – Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/fmo_2016_1_15.
- Семеніхіна О. В. Використання програми GeoGebra в дослідженні функціональних залежностей (на прикладі розв’язування задач на екстремум) [Teкст] / О. В. Семеніхіна, М. Г. Друшляк // Комп’ютер в школі і сім’ї. – 2015. – № 6. – С. 17–24.
- Очков В. Ф. Преподование математики и математические пакеты / В. Ф. Очков // Открытое образование. Учебные ресурсы. – 2013. – № 2. С. 26 – 34.